몇 년 전, 인터넷 게시판에서 수학에 대한 질문에 답변을 해 주고 있던 나에게 어떤 학생이 이메일로 진지한 질문을 해 왔다. 다른 사람들에게도 도움이 될 수 있다고 생각되어 그 때부터 몇 개월동안 주고받은 이메일의 내용을 여기에 싣는다.
1. 수학 공부의 참맛을 알려면?
안녕하세요 ^^ 저는 신OO 라고 합니다.
'어떻게 하면 수학공부를 잘할수 있을까?' 란 글을 보았는데요 . 궁금한점이 있어서요 ..
고1때부터 고3때까지 배운 내용을 보면 집합,명제,실수,복소수,인수분해, 약수, 배수 ,나머지정리,극한,미분,적분, 벡터, 수열 , 행렬,지수,로그, 확률, 통계, 방정식, 부등식,함수
더자세히보면
방정식-지수,로그, 포물선,타원,쌍곡선, 직선,원,분수,무리, 다항(일차,이차), 연립, 공간도형,삼각방정식
부등식-지수 ,로그,분수,무리수,유리수,다항,삼각부등식, 절대부등식 ,연립부등식 , 부등식의 영역
함수- 역함수,음함수,합성함수,다항함수,유리,무리,지수,로그,삼각함수
공간도형,공간좌표,평면좌표,도형의이동 으로 나누어 보았거든요..
여기서 지구,로그방정식 ,포물선방정식, 분수부등식등 모두 방정식 부등식이라는 큰원리에서 나온것이고 이것들 서로도 모두 관계 있다는 말씀이신가요?
예들들어 좌표공간에서 점p는 x축위로 움직이고 점Q는 직선 l=x/2=y-1/-1=z+2 위를 움직일때, 선분 PQ의 길이의 최소값을 구하여라 . 에서 공간도형 방정식 이라는 특수한 형태로 따로 떼어 놓지 말고 그전에 배웠던 방정식의 원리로 풀면 되는건가요?
그리고 이차방정식해법 , 지수방정식 해법 이런걸 따로 따로 외우지않아도 되겠네요 ?
저는 입시공부로 고통스러운 공부보다 수학을 제대로 공부해서 참맛을 알고 싶습니다... 여지까지 수학공부를 하면서 한번도 놀라움(?) 같은 것을 느껴보지 못했어요,, 또 공부하면서 내가 놓치고 있는건 없는지 제대로 연결지어 생각하는지도 걱정되고 .....
그래서 선생님께 도움을 요청합니다 .저좀 도와주세요 ㅠㅠ
말씀하신 대로 방정식, 부등식은 모두 같은 원리에서 나오는 것입니다. 즉, '어떤 식을 참으로 만드는 미지수의 값을 찾는 일' 입니다.
지수방정식이니, 로그방정식이니, 분수부등식이니 하는 것은 식의 형태를 말하는 것일 뿐입니다.
식을 참으로 만드는 미지수의 값을 구하기 위해 식을 변형해 x=3 이나 1 < x < 2 와 같은 간단한 식으로 만들어 간다는 아이디어는 모두 같습니다. 다만 다른 것은 식을 변형해 가는 구체적인 방법, 테크닉입니다.
축구의 목적이 공을 골대에 넣는 것임을 이해한다면 4-3-3 이니 4-4-2 니, 혹은 투톱이니 미드필더니 하는 구체적인 테크닉은 모두 '우리편이 골을 넣고, 상대편이 골을 넣는 것을 방해하기 위한 것' 으로 한꺼번에 이해할 수 있고, 그것에 비추어 생각하면 구체적인 전술이나 테크닉을 더 잘 이해할 수 있을 것입니다. 수학의 경우도 그렇습니다.
도형의 방정식은 이름에 방정식이 붙어있지만 일차방정식이나 이차방정식같은 것과는 좀 다른 주제입니다.
해(식을 참으로 만드는 미지수의 값)를 구하는 것이 목적이 아니라 무수히 많은 해의 집합을 도형으로 보고, 도형의 성질과 식의 성질을 관련시켜 이해하는 것이 목적입니다. 방정식보다는 함수 단원이나 부등식의 영역 단원과 연관시켜 이해해야 할 것입니다.
예로 드신 거리의 최솟값 문제에 대해 말씀드리면,
문제에 방정식이 나왔다고 해서 무조건 방정식 문제라고 생각하기보다는
문제의 뜻을 이해하는 것이 우선입니다.
여기서는 두 직선 위의 점들의 거리의 최솟값을 구하는 것이므로,
기하학적 성질을 이용해 바로 구할 수 있으면 가장 좋을 것입니다. 그러면 이 문제는 공간기하의 문제로 끝날 것입니다.
그러나 그것이 여의치 않기 때문에, 직선 위의 임의의 점을 (2t, -t+1, t-2) 로 놓고 이 점과 x축의 거리의 최솟값을 구하게 됩니다.
기본적으로 이것은 중3에서 나온 이차함수 최솟값 구하는 문제입니다.(최대, 최소 문제는 대부분 함수 이용)
그런데 그 과정에서 직선 위의 한 점을 하나의 문자 t를 가지고 나타내는 방법, 점과 직선 사이의 거리를 구하는 방법을 사용해야 합니다. 이 때 벡터, 식의 변형 등 이전에 배웠던 지식을 사용하게 됩니다.
이 문제를 '직선과 좌표축 사이의 최소 거리를 구하는 문제' 하는 식으로 하나의 유형으로 따로 생각하면 안됩니다.
알아야 할 것은 이차함수의 최대 최소, 식의 변형, 점과 직선 사이의 거리 등, 큰 원리들입니다.
이 원리들은 구체적인 하나의 문제가 아니라 수많은 문제들을 해결하는 열쇠가 되고, 그래서 교과서에서 한 자리씩 차지하고 있는 것입니다.
그런 원리들을 잘 알고 있다가, 구체적인 문제를 만났을 때 그 풀이 방법은 원리들을 조합해서 머릿속에서 창조해 내야 합니다.
그리고, 원래 문제들이 원리를 공부하기 위해 있는 것이지, 원리들이 문제를 풀기 위해서 있는 것은 아니라는 것도 알아 주시기 바랍니다.
수학의 원리들은 그 자체가 세상을 이해하는 데 중요하기 때문에 교과서에 있는 것이고, 문제는 원리들을 익히기 위해 있는 것입니다.
고작 대학 입시 문제를 풀기 위해 교과서의 원리들을 공부한다고 생각하면 얼마나 시간이 무의미합니까? 그러나 그렇지 않습니다.
OO님이 공부하는 원리들은 대학 입시 문제를 풀기 위한 열쇠가 아니라, 세상을 이해하는 열쇠입니다.
그것들은 대학에 들어간 다음에도 OO님이 세상을 파악하고 어떤 판단을 내릴 때 결정적인 역할을 할 것이고, 그래야 합니다.
이것은 수학 뿐만 아니라 문학, 역사, 과학 등 다른 과목도 마찬가지입니다.
입시문제풀이에만 매몰되지 않고 시간이 걸리더라도 차근차근 원리를 생각하면서 공부한다면 공부가 그리 어려운 것만은 아닙니다. 점수에 연연하지 않는다면 한 가지를 깨닫더라도 기쁨이 될 수 있고, 그런 것이 쌓이면 제대로 하는 공부가 무엇인지 알 수 있고, 결국 점수도 올라갈 것입니다.
그러기 위해서는 시간을 확보해야 합니다.
한 문제를 붙잡고 몇 시간 동안 생각할 수 있는 마음의 여유가 있어야 합니다.
이 시간에 다른 문제들을 많이 풀어 보는 것이 점수에 도움이 되지 않을까 하는 마음부터 없애야 합니다.
자기가 스스로 생각하는 시간만이 유효한 공부 시간이기 때문입니다.
2. 안목이란?
선생님 ~ 답변 잘받았습니다. ^^
한가지 더 궁금한게 있는데요 .. 사물을 수학적인 원리에 비추어 보는 안목이란 것이 무엇인가요 ??
그리고 선생님 덕분에 여지까지 알지 못했던것들을 깨닫게 되었습니다. ...
마음에 여유를 가지고 열심히 공부하겠습니다.^_^ 바쁘실텐데 성의껏 답변해주셔서 감사합니다 .
안목에서 '안' 과 '목' 둘 다 눈이라는 뜻입니다.
수학적인 원리 한 가지를 자기 것으로 만들면 그것은 모든 자연 현상이나 사회 현상 같은 것을 볼 때 또 하나의 눈을 가진 것과 같습니다. 현미경이나 망원경과 같은 '보조 눈' 이라고 생각하면 더 이해하기 쉬울 것입니다.
예를 들어 역사를 잘 이해하는 사람은 지금 벌어지고 있는 사회 현상, 정치 경제적인 현안 등을 볼 때 과거에 일어났던 일들에 비추어 생각할 수 있고, 그래서 앞으로 어떤 일들이 일어날 것인가라든지, 어떤 것이 옳은 것인가라든지 하는 논리적인 판단을 할 능력을 더 많이 갖고 있습니다.
수학 역시 그렇습니다. 수학의 원리는 많은 자연 현상과 사회 현상의 기본을 이루기 때문입니다.
일기예보가 잘 맞지 않을 때, 보통의 경우 '월급 받고 뭐하는 거냐' 고 기상청 직원들을 무시하기 일쑤이지만 수학을 아는 사람들은 일기예보가 결코 쉬운 일이 아니며, 그것이 쉬운 일이 되는 날 우리가 홈쇼핑을 할 때 사용하는 보안프로그램을 깨는 것도 쉬운 일이 되어 버릴 것임을 압니다.
수학을 잘 모르는 사람들은 확률이 높은 로또 번호를 알려주겠다는 말에 '혹시나' 하지만 아는 사람들은 로또가 제대로 된 복권이라면 그것이 사기라는 것을 압니다.
현미경을 갖지 못한 사람과, 그것을 갖고 있는 사람은 사물을 이해하는 깊이와 넓이에 많은 차이가 있듯이,
하나를 더 알면 그만큼 더 깊이 이해할 수 있습니다. 수학적 지식도 마찬가지고, 역사적 지식도 마찬가지입니다. 모든 학문의 역할이 그것이기 때문입니다.
3. 본질을 공부하려면?
수학을 배우면 배운것들을 따로 따로 생각하지말고 통합해서 생각하라고 하셨는데 어떻게 해야 통합해서 생각하는능력을 길를수 있나요?
따로 무슨 수를 쓴다기보다도 수학을 제대로 공부하면 되는 일입니다.
왜냐하면 수학의 내용들은 그 자체가 서로서로 연결시켜 생각하지 않으면 제대로 이해할 수 없도록 되어 있기 때문입니다.
예를 들어 피타고라스의 정리를 제대로 이해하려고 하면, 삼각형의 넓이라든지, 삼각형의 합동조건이라든지, 비례라든지 하는 것들과 연결시켜야만 합니다. 공부할 때 이런 것들을 제대로 따지면서 나간다면 통합적인 이해를 하지 않을 수 없습니다.
그러다 보면 개념들을 높은 곳에서 내려다보는 안목이 생겨서, 예를 들어 수의 사칙연산과 집합의 연산, 함수의 합성 같은 것들이 서로 통한다는 것을 깨달을 수도 있을 것입니다.
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많이 바쁘실텐데 질문할때마다 친절한 답변주셔서 감사합니다^^
선생님 덕분에 '수학점수'가 아닌'수학'에 대해 욕심이 생겨서 책도읽고 공부도 열심히 하고 있습니다!
근데 요즘 한가지 고민이 생겼습니다. 제가 EBS논술강의를 듣고 있는데요.. 이강의 하시는 선생님께서 본질이란는것을 알려주셌거든요. 예를들면 lim sinX/X (X가 0으로 갈때 ..) 는 교과서나 참고서에서는 삼각형과 부채꼴을 가지고 증명을 했지만 다른 관점으로 이식이 의미하는 바를 가지고 생각해 보았더니 sinX라는 함수는 X가 0부근에서
tanx, x 와 같아 진것을 알수 있었거든요, 저는 이부분을 배우면서 그냥 sinx/x 라는 함수가 x가 0으로 한없이 다가갈때 1로 다가가는구나만 생각했는데 이렇게 자세히 들여다 보니까 새로운 것을 알게되서 너무 신기하고 재밌었는데...... 문제는 다른 수학적 모든 개념들도 다 본질이란게 있을 텐데 .. 여지까지 한수학공부는 표면만본것같고 막상 본질에 대해 생각해보려고 하면 너무 깊숙히 들어가는것같고.... 처음부터 다시 각각 개념에대해 본질에대한 생각하려면 양도 너무많고.....어떻게 해야될지 모르겠습니다.ㅠㅠ
그냥 그선생님 께서 가르쳐주신 것들만 공부하는것이 좋을까요?
말이 반복되지만 공부를 제대로, 정상적으로 하면 다 되는 일입니다.
수학은 사실들의 나열로서 전개할 수 없습니다.
어떤 수학적 개념은 항상 다른 수학적 개념에 비추어 도입되고 그 과정은 논리적인 전개를 따릅니다.
예를 들어 피타고라스의 정리는 그냥 하나의 사실로서 제시되지 않고 닮음이나 비례식 같은 다른 것들로부터 논리적으로 나오는 결론으로 소개됩니다.
바로 그 논리적 과정을 따라가면서 이해하면 그 개념의 본질을 이해할 수 있습니다.
또한 일단 알게 된 개념에 대해, 이미 아는 다른 것들과의 관계를 생각해 보는 시간을 갖는 것은 이해를 한층 심화시킵니다.
예를 들어 sin^2 x + cos^2 x = 1 이라는 법칙에 대해 조금만 비판적으로 생각해 보면 그것이 바로 피타고라스의 정리라는 것을 알 수 있습니다. 이런 순간이 바로 삼각함수와 피타고라스의 정리에 대한 이해가 한층 깊어지는 때입니다.
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중요한 질문을 하나 빼먹었네용 ;;;
수학에서 말하는 본질이란게 무엇인가요?
그리고 미분은 엄청 작은 부분의 변화율을 의미하는거잖아요,. 그럼 "작게나눈다"라는 의미랑은 좀 다른거 아닌가요?
'본질' 이라는 말이 수학 용어는 아니기 때문에 애매할 수도 있고 사람에 따라서 다르게 사용할 수도 있을 것입니다.
예를 들면 바둑돌 3개와 4개를 합치는 일이나, 물 3L 와 4L 를 합치는 일, 3km 를 가고 다시 4km 를 가는 일은 각각 전혀 다른 일이지만 그 결과가 되는 양을 계산하는 일은 모두 3+4 로 표현할 수 있습니다. 수량의 관계라는 '본질' 만을 생각하면 이 세 가지 상황은 모두 같은 것입니다. 수학은 복잡한 사물들로부터 수량이나 모양, 관계와 같은 '본질' 만을 뽑아내 연구하는 일이라고 할 수 있습니다.
원래 '미분' 이라는 말 자체는 작게 나눈다는 뜻이지만, 우리가 함수를 미분할 때 하는 일은 작게 나눈 것끼리의 '비율' 즉, (순간)변화율을 구하는 것입니다. 다시 말해, 구하는 것은 변화율이지만 그 과정에서 작게 나누기 때문에 미분이라 불린다고 생각하면 되겠습니다.
4. 잘못된 공부에서 벗어나려면?
수학은 사실들의 나열로서 전개할 수 없습니다.
어떤 수학적 개념은 항상 다른 수학적 개념에 비추어 도입되고 그 과정은 논리적인 전개를 따릅니다.
예를 들어 피타고라스의 정리는 그냥 하나의 사실로서 제시되지 않고 닮음이나 비례식 같은 다른 것들로부터 논리적으로 나오는 결론으로 소개됩니다.
바로 그 논리적 과정을 따라가면서 이해하면 그 개념의 본질을 이해할 수 있습니다.
또한 일단 알게 된 개념에 대해, 이미 아는 다른 것들과의 관계를 생각해 보는 시간을 갖는 것은 이해를 한층 심화시킵니다.
예를 들어 sin^2 x + cos^2 x = 1 이라는 법칙에 대해 조금만 비판적으로 생각해 보면 그것이 바로 피타고라스의 정리라는 것을 알 수 있습니다. 이런 순간이 바로 삼각함수와 피타고라스의 정리에 대한 이해가 한층 깊어지는 때입니다.
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수학에서 말하는 본질이란게 무엇인가요?
그리고 미분은 엄청 작은 부분의 변화율을 의미하는거잖아요,. 그럼 "작게나눈다"라는 의미랑은 좀 다른거 아닌가요?
'본질' 이라는 말이 수학 용어는 아니기 때문에 애매할 수도 있고 사람에 따라서 다르게 사용할 수도 있을 것입니다.
예를 들면 바둑돌 3개와 4개를 합치는 일이나, 물 3L 와 4L 를 합치는 일, 3km 를 가고 다시 4km 를 가는 일은 각각 전혀 다른 일이지만 그 결과가 되는 양을 계산하는 일은 모두 3+4 로 표현할 수 있습니다. 수량의 관계라는 '본질' 만을 생각하면 이 세 가지 상황은 모두 같은 것입니다. 수학은 복잡한 사물들로부터 수량이나 모양, 관계와 같은 '본질' 만을 뽑아내 연구하는 일이라고 할 수 있습니다.
원래 '미분' 이라는 말 자체는 작게 나눈다는 뜻이지만, 우리가 함수를 미분할 때 하는 일은 작게 나눈 것끼리의 '비율' 즉, (순간)변화율을 구하는 것입니다. 다시 말해, 구하는 것은 변화율이지만 그 과정에서 작게 나누기 때문에 미분이라 불린다고 생각하면 되겠습니다.
4. 잘못된 공부에서 벗어나려면?
선생님, 또 메일을 보내게 되었습니다.
제가 이번에 삼수를 하는 삼수생인데요.( 이제서야 제소개를 하게 되었네요;;)
여지까지 한 시험위주의 공부로는 이무리 잘해서 대학에 가도 대학에 간게 무의미해진다는 생각을 하게 되었습니다.정말 제대로된 공부를 하고시퓨었고 그런 도중에 선생님의 글을 읽게 되었습니다. 다시 용기를 얻어서 공부를 시작하게 되었는데.. 요즘에 자꾸 자신감이 없어지고 있어요...
저는 열심히 한다고 했는데 뭐가 잘못된 것인지 모르겠어요.. 개념, 원리를 이해하고 문제를 풀어봐도 뭔가가 빠진거 같은 느낌이 듭니다. 문제 해결력은 많이 좋아진거 같지만 수학은 계속 미궁속으로 빨려들어 가는것 같아요. 개념 이해하는건 그이전에도 해왔듯이 계속 거기에만 머물러 있고 더이상 깨달음 같은건 없는거 같아요..
그리고 어떤 개념에 대해 생각해보면 어떤 끝도 없이 파고들어 가면 갈수록 계속 있는것같아서 어디까지 해야되는건지 모르겠고 ..
공부를 잘못하고 있다고 생각이 듭니다.ㅠㅠ
공부를 하면서 개념과 원리이해할때 무작정 개념만 잡고 생각하는것이 아니라 그개념 원리의 유도과정이나 증명을 이해하면서 이런 개념이 이것에 의해나왔구나를 이해하고 문제를 풀면서 더심화된 이해를 하는것인가요? 그리고 하나의 개념에도 여러가지 증명이 있을수 있다는건 그개념과 다른 많은 개념과원리가 연결되어 있다라는것인가요?
제가 괜한걱정을 하고있는건지 아님 정말 잘못하고 있는건지 ..선생님 도와주세요 ...ㅠㅠ
바쁘실텐데 자꾸 메일 보내서 정말 죄송하네요.. 그리고 감사합니다.
고등학교 교과서의 내용 자체만으로는 논리적인 체제가 완벽하게 이루어지지 않습니다.
벽돌만 있고, 시멘트가 없는 경우와도 비슷합니다.
고등학교에서 나오는 것 이외에도 수학에는 중요한 개념들이 더 있고, 그런 개념들이 연결고리 역할을 해야만 제대로 이해가 될 수 있습니다.
따라서 고등학교에서는 어느 정도 두루뭉술하게 넘어가야 할 때가 많습니다.
교과서나 교양 서적을 통해 얻은 지식 사이에서 최대한 연결고리를 찾아 이해하되, 지금 단계에서 수학 전체를 훤히 꿰뚫을 수 있는 지식을 얻지 못했다고 실망할 것은 없습니다.
공부를 어떤 방법으로 해야 하느냐? 어디까지 파고들어야 하느냐?
당연히 개개인이 판단하기는 어렵습니다. 특히 아직 공부하는 중인 학생들이 하는 것은 당연히 더 어렵습니다.
그런 것에 대한 기준을 제시하는 것이 바로 교과서입니다.
OOO 님이 하는 고민을 누군가가 이미 했으며, 그 결과가 교과서로 나와 있는 것입니다.
교과서는 고등학교에서 이러이러한 개념을 이해하고 그리하여 이러이러한 문제를 풀 수 있도록 공부하라는 지침서입니다.
우선 교과서 내용들과 그 사이사이의 그 연결고리들이 충분히 이해되었는지 확인하면서 공부하면 될 것입니다.
문제를 풀 때는 시간이 걸리더라도 갖고 있는 개념들로부터 그 문제의 풀이를 스스로 만들어내면서 풀어야 할 것입니다. 충분한 시간동안 고민한 끝에 풀지 못한 문제는 풀어낸 문제와 마찬가지로 공부에 도움을 줍니다.
쉬워보이는(결코 실제로 쉽지는 않지만) 길을 마다하고 어렵고 불안해보이는 길을 가고 있는 님에게 응원을 보내고 싶습니다.
제 주장은 점수를 올리는 것이 목표이고, 그러기 위해 공부를 하는 경우에는 어울리지 않을 것입니다. 매달 보는 모의고사 점수에 조바심을 내면 제대로 공부할 수가 없습니다. 한 가지라도 깨닫고, 스스로 문제의 해결 방법을 알아내는 그 자체를 수능 점수보다, 명문대 학벌보다 중요시하는 태도를 가져야만 제대로 공부할 수 있을 것입니다.
5. 이런 식으로 공부하면 되나요?
선생님 안녕하세요^^ 저번에 고민상담받고서 많은도움이 되었습니다.그후에 제가 공부했던 벡터의 일부분을 적어보았거든요.
앞으로도 이런식으로 공부하면 되나요?(빨간글씨부분을 자세히 봐주세요..;)
<벡터>
1.벡터의뜻
->방향과 크기를가진양 ,위치변화를나타낸다.
물리적인 현상은 크기로만 나타낼수없다. 방향과 크기로 가진양이 있는데 옛날부터 크기랑 방향을 가지는양을 어떻게 표현하면 좋을지 고민했다. 이런 고민으로 나온것이 벡터이다. 벡터는 화살표(유향선분)으로 나타내었는데 문제점이 생겼다. 연구하기 위해 서 그린 벡터를 집에와서 똑같이 그릴수가 없었다.(재생이 불가능)
그런데 벡터를 평면이나 입체 도형 위에 표시하고 시점과 종점을 나타내니 집에서도 재생이 가능해졌다. 그래서 벡터를 도형위에 나타내게 되었다.
(벡터를 생각할 때 도형위에 나타내서 생각한다.화살표만 따로 그리지않고..)
2.벡터의 덧셈과 뺄셈
*벡터의 덧셈
-> 벡터AB와 벡터BC가 있을때 벡터AC를 벡터 AB와 벡터BC의 합이라하고 벡터AB+벡터BC나타낸다.
왜 벡터의 합이 이렇게될까?
벡터AB 가 A~B의 위치의 변화이고, 벡터BC가 B~C로의 위치변화이다. 벡터에서의 덧셈을 연달아 이동이라는뜻이고 (양이 늘어남보다) 그러므로 벡터AB+벡터BC는 A~B로의 위치변화하고 연이어 B~C로 위치변화이다. 이것을 전체적으로 보면 결국 A~C로의 위치변화이므로 벡터AC이다.
이 덧셈정리를 이용해서 벡터의 시점이 일치되었을때의 덧셈도 할수있다.(평해사변형의 법칙)
*벡터의덧셈에 관한 교환법칙결합법칙
->벡터a+벡터b=벡터b+벡터a
->(벡터a+벡터b)+벡터c=벡터a+(벡터b+벡터c)
-덧셈이라는 연산의 교환법칙과 결합법칙은 실수든 벡터든 다 성립한다.
3.두벡터의 평행조건
-두벡터의 방향이같거나 반대일때 두벡터는 평행하다고한다.=> 하나의 벡터가 다른벡터의 실수배일때 (실수배는 방향을 알려줌.같거나 반대) 두벡터가 평행하다.
4.위치벡터
->벡터 AB가있을때 벡터AB와 같은 벡터는 무수히많다, 이벡터들의 시점을 기준점으로 옮겨서 일치시키면 무수히많던 벡터AB는 딱하나의 벡터로 되고, 점과 벡터는일대일대응이 된다. 이하나의 벡터를 위치벡터라한다.
위치벡터가되면, 벡터와 점이 일대일 대응하기 때문에 점자체가 벡터가된다. 즉 점이 화살표가 가지고있던 방향과 크기를 모두나타낸다. 그래서 벡터를그냥 (x,y)라 부르기로했다.
이렇게 됨으로써 점을 벡터로 벡터는 점으로 볼수있게되었다.
예를들어 위치벡터에서 벡터p=m벡터a+n벡터b /n+m 이 나온다. 이것은 위치벡터에서만 배우는 특수한것이 아니다. 벡터p .벡터a,벡터b 모두 점으로 볼 수 있고 이것은 곧 선분의 내분점 구하는 공식인것이다. 둘은 같은 것인데 표현이 다른것이다.위치벡터가 생기고나서 점과 벡터사이의 벽이 허물어 진것이다.
*벡터의 성분
->위치벡터가 되면서 벡터가 점이 되는데 이때 벡터를 점으로 나타낼때 그점을 성분이라한다.
-성분표시방법
벡터 AB가 있을때 시점을 일치시키고(위치벡터로..) 벡터 AB를 x,y좌표위로 정사영시킴후 그것을 기본벡터로 나타내면 벡터AB를 벡터AB=a벡터e+b벡터e 로 나타낼수있다. 이때 a를 벡터AB의 x성분 b를 벡터AB의 y성분 이라하고 (a,b)로 나타낸다.
(기준이 원점일때 성분은 종점좌표)
->방향과 크기를가진양 ,위치변화를나타낸다.
물리적인 현상은 크기로만 나타낼수없다. 방향과 크기로 가진양이 있는데 옛날부터 크기랑 방향을 가지는양을 어떻게 표현하면 좋을지 고민했다. 이런 고민으로 나온것이 벡터이다. 벡터는 화살표(유향선분)으로 나타내었는데 문제점이 생겼다. 연구하기 위해 서 그린 벡터를 집에와서 똑같이 그릴수가 없었다.(재생이 불가능)
그런데 벡터를 평면이나 입체 도형 위에 표시하고 시점과 종점을 나타내니 집에서도 재생이 가능해졌다. 그래서 벡터를 도형위에 나타내게 되었다.
(벡터를 생각할 때 도형위에 나타내서 생각한다.화살표만 따로 그리지않고..)
2.벡터의 덧셈과 뺄셈
*벡터의 덧셈
-> 벡터AB와 벡터BC가 있을때 벡터AC를 벡터 AB와 벡터BC의 합이라하고 벡터AB+벡터BC나타낸다.
왜 벡터의 합이 이렇게될까?
벡터AB 가 A~B의 위치의 변화이고, 벡터BC가 B~C로의 위치변화이다. 벡터에서의 덧셈을 연달아 이동이라는뜻이고 (양이 늘어남보다) 그러므로 벡터AB+벡터BC는 A~B로의 위치변화하고 연이어 B~C로 위치변화이다. 이것을 전체적으로 보면 결국 A~C로의 위치변화이므로 벡터AC이다.
이 덧셈정리를 이용해서 벡터의 시점이 일치되었을때의 덧셈도 할수있다.(평해사변형의 법칙)
*벡터의덧셈에 관한 교환법칙결합법칙
->벡터a+벡터b=벡터b+벡터a
->(벡터a+벡터b)+벡터c=벡터a+(벡터b+벡터c)
-덧셈이라는 연산의 교환법칙과 결합법칙은 실수든 벡터든 다 성립한다.
3.두벡터의 평행조건
-두벡터의 방향이같거나 반대일때 두벡터는 평행하다고한다.=> 하나의 벡터가 다른벡터의 실수배일때 (실수배는 방향을 알려줌.같거나 반대) 두벡터가 평행하다.
4.위치벡터
->벡터 AB가있을때 벡터AB와 같은 벡터는 무수히많다, 이벡터들의 시점을 기준점으로 옮겨서 일치시키면 무수히많던 벡터AB는 딱하나의 벡터로 되고, 점과 벡터는일대일대응이 된다. 이하나의 벡터를 위치벡터라한다.
위치벡터가되면, 벡터와 점이 일대일 대응하기 때문에 점자체가 벡터가된다. 즉 점이 화살표가 가지고있던 방향과 크기를 모두나타낸다. 그래서 벡터를그냥 (x,y)라 부르기로했다.
이렇게 됨으로써 점을 벡터로 벡터는 점으로 볼수있게되었다.
예를들어 위치벡터에서 벡터p=m벡터a+n벡터b /n+m 이 나온다. 이것은 위치벡터에서만 배우는 특수한것이 아니다. 벡터p .벡터a,벡터b 모두 점으로 볼 수 있고 이것은 곧 선분의 내분점 구하는 공식인것이다. 둘은 같은 것인데 표현이 다른것이다.위치벡터가 생기고나서 점과 벡터사이의 벽이 허물어 진것이다.
*벡터의 성분
->위치벡터가 되면서 벡터가 점이 되는데 이때 벡터를 점으로 나타낼때 그점을 성분이라한다.
-성분표시방법
벡터 AB가 있을때 시점을 일치시키고(위치벡터로..) 벡터 AB를 x,y좌표위로 정사영시킴후 그것을 기본벡터로 나타내면 벡터AB를 벡터AB=a벡터e+b벡터e 로 나타낼수있다. 이때 a를 벡터AB의 x성분 b를 벡터AB의 y성분 이라하고 (a,b)로 나타낸다.
(기준이 원점일때 성분은 종점좌표)
왜 성분을 이렇게 나타낼까?
점이 벡터의 크기와 방향을 나타내야하니까 이렇게 나타낸다.
5.내적
*내적의 정의(두벡터의 곱)
->일=FS=(가해진힘)*(변위)이다. 힘을 벡터b로 주었을때 물체는 벡터a로 이동하였다. 두벡터가 이루는각을 Q라 할때, 이때한일은 일의 정의에의해 변위인 벡터a와 힘인 벡터b의 곱
벡터a*벡터b 이다. 이때 벡터b는 문체에 작용한힘이지만 실질적으로 물체에 작용한힘은 벡터b의 크기*cosQ 이다. 즉,한일은 벡터a*벡터b=벡터a의 크기 *벡터b의 크기 *cosQ이다.
이 일을 내적이라 할수있다. 즉, 내적의 정의는 두벡터 벡터 a,벡터b가 있을때 두벡터가 이루는각이 Q라 하자. 이때 내적은 벡터a 벡터b=벡터a크기*벡터b크기*cosQ이다. 여기서 벡터b의 크기*cosQ를 벡터b의 벡터a위로의 정사영이라고 볼수있다.
*베터의 수직과 평행
-벡터의수직
점이 벡터의 크기와 방향을 나타내야하니까 이렇게 나타낸다.
5.내적
*내적의 정의(두벡터의 곱)
->일=FS=(가해진힘)*(변위)이다. 힘을 벡터b로 주었을때 물체는 벡터a로 이동하였다. 두벡터가 이루는각을 Q라 할때, 이때한일은 일의 정의에의해 변위인 벡터a와 힘인 벡터b의 곱
벡터a*벡터b 이다. 이때 벡터b는 문체에 작용한힘이지만 실질적으로 물체에 작용한힘은 벡터b의 크기*cosQ 이다. 즉,한일은 벡터a*벡터b=벡터a의 크기 *벡터b의 크기 *cosQ이다.
이 일을 내적이라 할수있다. 즉, 내적의 정의는 두벡터 벡터 a,벡터b가 있을때 두벡터가 이루는각이 Q라 하자. 이때 내적은 벡터a 벡터b=벡터a크기*벡터b크기*cosQ이다. 여기서 벡터b의 크기*cosQ를 벡터b의 벡터a위로의 정사영이라고 볼수있다.
*베터의 수직과 평행
-벡터의수직
벡터aㅗ벡터b일때(벡터a,벡터b는 0벡터아님)<=>벡터a와 벡터b의내적이 0이다.
-벡터의 평행
벡터a//벡터b일때(벡터a,벡터b는 0벡터아님)<=>벡터a와 벡터b의내적이 +벡터a의크기*벡터b의크기 ,-벡터 a의 크기*벡터b의크기
->내적을 이용하면 두벡터의 이루는각을 알수있다. 그러므로 그전에 나타낼수 없었던 벡터의 수직을 내적을 이용해 나타낼수 있었고, 평행도 내적을 이용해 나타낼수있었다.
6.직선방정식
-벡터의 평행
벡터a//벡터b일때(벡터a,벡터b는 0벡터아님)<=>벡터a와 벡터b의내적이 +벡터a의크기*벡터b의크기 ,-벡터 a의 크기*벡터b의크기
->내적을 이용하면 두벡터의 이루는각을 알수있다. 그러므로 그전에 나타낼수 없었던 벡터의 수직을 내적을 이용해 나타낼수 있었고, 평행도 내적을 이용해 나타낼수있었다.
6.직선방정식
*점A를 지나고 벡터d에 평행한 직선 방정식
->직선은 무수히 많은 점들로 되어있다. 점들로 직선을 빽빽이 채우기위해서 우선 직선위의 한점 A로 가야한다. 그러고 나서 벡터d가 알려주는 방향으로 가야한다. (벡터d는 직선의 방향을 알려주는 벡터로 점이 어느방향으로 가야하는지알려줌)
->직선은 무수히 많은 점들로 되어있다. 점들로 직선을 빽빽이 채우기위해서 우선 직선위의 한점 A로 가야한다. 그러고 나서 벡터d가 알려주는 방향으로 가야한다. (벡터d는 직선의 방향을 알려주는 벡터로 점이 어느방향으로 가야하는지알려줌)
벡터x=벡터a(우선점 a로가고)+t벡터d(그러고나서 벡터d를 t배한곳으로가서 선다.)
위치벡터니까 점으로 나타내면 (x,y,z)=(a,b,c)+t(l,m,n)=(a+tl,b+tm,c+tn) 이것이 직선이다.(직선위의 무수히 많은점 한꺼번에 표시.그래서 임의의점을 이렇게 나타낸것임)
7.평면 방정식
*점A를지나며 벡터h에 수직인 평면
->평면위의 모든점을 나타내기위해서 우선 평면위의 한점으로가고 (벡터a)다음에 가야될 방향을정해야하는데 방향이 엄청많아서 정하기가 어려움, 따라서 평면은 이런식으로 할수없다. 그럼 어떻게 해야할까? 평면위의 한점의 특징은? 이평면에 수직인 벡터하나를 잡으면 이벡터와 벡터a에서 벡터 x( 평면위의 임의의점)가는 벡터가 수직이다. 이때수직인 벡터를 벡터 h라 하면 벡터h (벡터x-벡터a)=0 이다.
점으로 나타내면 (a,b,c,)(x-l,y-m,z-n)=0 a(x-l)+b(y-m)+c(z-n)=0이된다. 이것은 t로 나타낼수없으니까 이렇게되고 그래서 평면은 직선처럼 특정좌표를 잡을수없다.
=================================================================================
문제 풀때 질문이 있는데요. 'ax+b가 x에 상관없이 항상일정할때' 이런 말이 문제에서 나오면 ax+b=k(k는 일정) 이라고 놓고풀잖아요,. ax+b가 일정하니까 k로 푸는건알겠는데 찜찜해요,.문제풀기 기술같은것인가요?원리나 개념이 아니라 그렇다 라고 놓고 푸는거잖아요,. 이문제 뿐만아니라 문제풀때 이상황에서는 이렇게 써야지 하는생각이 나는데 왠지 그동안 비슷한 문제를 많이 풀어서 외운거같은 생각이 들어요.
그리고 벡터의 덧셈부분 공부할때 그부분이 어떤 이유가 있어서 그렇게 했을것이라는생각에 왜그렇게 되었을까 하고 생각해보았는데요. 이런 궁금한부분에서 이렇게 생각해보는것도 있고 직접적으로 그것을 증명해보는것도 있잖아요,, 이 두개의 차이가 무엇인가요? 증명을 해보고 싶어도 아직은 어려워서 그렇고 그냥 생각해보고 넘어가도 이생각이 정말 맞는건지 고민이됩니다...
선생님 또 한번 도와주세요!!
위치벡터니까 점으로 나타내면 (x,y,z)=(a,b,c)+t(l,m,n)=(a+tl,b+tm,c+tn) 이것이 직선이다.(직선위의 무수히 많은점 한꺼번에 표시.그래서 임의의점을 이렇게 나타낸것임)
7.평면 방정식
*점A를지나며 벡터h에 수직인 평면
->평면위의 모든점을 나타내기위해서 우선 평면위의 한점으로가고 (벡터a)다음에 가야될 방향을정해야하는데 방향이 엄청많아서 정하기가 어려움, 따라서 평면은 이런식으로 할수없다. 그럼 어떻게 해야할까? 평면위의 한점의 특징은? 이평면에 수직인 벡터하나를 잡으면 이벡터와 벡터a에서 벡터 x( 평면위의 임의의점)가는 벡터가 수직이다. 이때수직인 벡터를 벡터 h라 하면 벡터h (벡터x-벡터a)=0 이다.
점으로 나타내면 (a,b,c,)(x-l,y-m,z-n)=0 a(x-l)+b(y-m)+c(z-n)=0이된다. 이것은 t로 나타낼수없으니까 이렇게되고 그래서 평면은 직선처럼 특정좌표를 잡을수없다.
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문제 풀때 질문이 있는데요. 'ax+b가 x에 상관없이 항상일정할때' 이런 말이 문제에서 나오면 ax+b=k(k는 일정) 이라고 놓고풀잖아요,. ax+b가 일정하니까 k로 푸는건알겠는데 찜찜해요,.문제풀기 기술같은것인가요?원리나 개념이 아니라 그렇다 라고 놓고 푸는거잖아요,. 이문제 뿐만아니라 문제풀때 이상황에서는 이렇게 써야지 하는생각이 나는데 왠지 그동안 비슷한 문제를 많이 풀어서 외운거같은 생각이 들어요.
그리고 벡터의 덧셈부분 공부할때 그부분이 어떤 이유가 있어서 그렇게 했을것이라는생각에 왜그렇게 되었을까 하고 생각해보았는데요. 이런 궁금한부분에서 이렇게 생각해보는것도 있고 직접적으로 그것을 증명해보는것도 있잖아요,, 이 두개의 차이가 무엇인가요? 증명을 해보고 싶어도 아직은 어려워서 그렇고 그냥 생각해보고 넘어가도 이생각이 정말 맞는건지 고민이됩니다...
선생님 또 한번 도와주세요!!
아! 그런데 EBS 교수학습자료실을 재미있게 보고 있는데 수학사에서 선생님 이름을 발견했는데요.. 정말 선생님 맞으신가요??^_^
전에 말씀드렸듯이 공부하는 가장 좋은 방법은 그것에 대하여 글을 쓰는 것입니다. 보내 주신 것처럼 나름대로의 방법으로 이해하고 생각을 확장하여 글로 표현해 보는 것은 아주 좋은 방법입니다. 물론 이렇게 하려면 시간이 많이 걸리기 때문에 지금 단계에서 모든 내용을 자기 나름대로 정리하는 것은 어렵지만, 몇 가지 흥미있는 부분이라도 그렇게 해 보면 모든 공부에 좋은 영향을 줄 것이라고 봅니다. 그러나 자기 생각만을 너무 많이 밀고 나가면 기존 수학 개념과 일치하지 않는, 자기 하나만을 위한 수학을 만들어낼 위험이 있습니다. 하니엘 님의 글에서 마지막 부분, 그러니까 직선과 평면의 방정식에 대한 부분은 그런 위험이 있는 것 같습니다.
도형의 방정식은 점 P(x,y,z) 가 그 도형 위에 있을 필요충분조건이 되는 방정식을 말합니다. 그래서 x, y, z 가 만족해야 할 조건을 나타내면 되기 때문에 꼭 (x,y,z)=... 의 꼴로 나타내는 것이 중요한 것은 아닙니다. 원의 방정식도 x^2 + y^2 = 1 과 같이 쓰지 않습니까?
굳이 평면의 방정식을 (x,y,z) = ... 의 꼴로 나타내려 했으면 법선벡터 대신 평면과 평행하되 서로 평행은 아닌 두 벡터 u, v 를 가지고
x = a + tu + sv
하는 식으로 할 수도 있었을 것입니다.
공부한 내용을 자기 나름대로 이해하고 정리하는 것은 중요하지만, 너무 많이 나갈 필요는 없습니다.
(너무 많이 나가면 각의 삼등분을 했다든지, 골드바흐의 추측을 증명했다고 억지를 부리는 아마추어 수학자들처럼 될 수도 있습니다.)
그것은 (수학자들이 만들어 놓은) 수학을 더 잘 공부해 나가는 하나의 방법이니까요.
정말 자기만의 세계를 만들어 나가야 할 때는 수학자(혹은 다른 분야의 학자라도)가 된 다음일 것입니다.
ax + b 의 값이 x 에 관계 없이 일정하다는 조건을 ax + b = k 로 놓는 것은 찜찜할 일이 아닙니다. 문제의 조건을 그대로 식으로 표현한 것이니까요.
다만 ax + b = k 로 놓는 데서 끝나면 안되고, 이 식이 '항등식' 임을 이용하여 a 의 값을 구하는 것이 핵심이겠지요.
"어떤 상수 k 에 대해 ax + b = k 가 항등식이다" 라는 말은
"ax + b 의 값이 x 에 관계 없이 일정하다" 는 말과 정확히 같은 뜻이 아닙니까?
그리고 ebs '수학사' 프로그램에 감수위원으로 나오는 것은 제가 맞습니다.
저와 함께 공부하는 몇 분의 선생님들이 그 프로그램의 내용에 대해 아이디어를 주고,
또한 구성된 프로그램을 검토하는 일을 하고 있습니다.
6. 증명에 대하여
선생님~ 안녕하세요^^
질문 몇가지만 할게요.
우리가 알고있는 모든 수학적 사실은 증명이 되어있나요?
그리고 지금상태에서(고등과정을 넘어서) 증명하지 못하는건 그냥 성립하는구나만 알고있으면 되는건가요?
증명되지 못한 것은 그 나름대로 의미가 있습니다. 예를 들어 '리만 가설' 같은 것은 아직 증명되지도, 반증되지도 못했지만,
'리만 가설이 참이라면 이러이러하다' 라든가 '리만 가설이 거짓이라면 이러이러하다' 는 식의 정리가 많이 있습니다. 즉 리만 가설 자체는 참인지 거짓인지 모르지만 '리만 가설이 참이라면 이러이러하다' 는 식의 명제는 증명되어 정리(theorem)이 될 수 있는 것입니다.
하지만 증명되지 못한 명제가 교과서에 나올 수는 당연히 없습니다.
교과서는 일일이 모든 단계를 증명하지 못하고 넘어가는 경우가 많이 있습니다. 예를 들어 '실수'에 대한 것도, '극한'에 대한 것도 고등학교 교과서에서는 제대로 필요한 명제를 증명하면서 가지 못합니다. 일단 교과서에서 하는 대로 따라 가되 더 깊은 이론은 수학을 전공하거나 특별한 관심을 갖는 사람들만이 알게 될 것입니다.
어떤 개념이나 원리에대해 이렇게되니까 이렇게 된다 이렇게 설명될수 있는것은 증명이 없어도 성립되는걸 알수있는데 왜 증명을 하나요?
예를들어 삼각함수의 극한 lim_n->∞ sinx/x=1에서 sinx는 x가0부근에서 y=x와 같아지니까 (접선 방정식) 1이 된다는걸 알수있는데 ...
또 치환적분에서도 ∫f(x)dx에서 x=g(t)로 놓으면 dx/dt=g'(t) dx=g'(t)dt이므로 x대신 g(t)를 dx대신 g'(t)dt를 대입하면 ∫f(x)dx=∫f(g(t))g'(t)dt이다. 로 증명없이 성립되는걸 설명할수있는데 왜 따로 증명을 하는건가요?
그리고 공식유도와 증명은 뭐가 다른가요??
적분의 경우, 정확히 말해 ∫f(x)dx 에서 f(x) 와 dx 사이는 곱하기가 아닙니다. 교과서의 그 부분을 보면 알 수 있듯이 이것은 그 자체로 f(x) 를 적분하라는 기호입니다. 곱하기가 아니기 때문에 마치 곱하기인 것처럼 생각해서 만든 공식이 성립한다는 것은 따로 증명해야 합니다. 물론, 기호가 이렇게 된 것은 라이프니츠가 f(x)dx 를 f(x) 와 'x의 미세한 증분' dx 의 곱으로 생각했기 때문이고, 지금에 와서도 엄밀하지는 않지만 그렇게 생각하면 편리하게 공식을 이해할 수 있기 때문에 계속 사용되는 것입니다. 하지만 그것은 공식을 쉽게 익히기 위한 편법일 뿐, 정확한 수학적 사실은 아니라는 것을 알아야 합니다.
공식유도와 증명은 뭐가 다르냐...
다르지 않습니다. 공식을 유도하는 것은 공식을 증명하는 것입니다.
전에 말씀드렸듯이 공부하는 가장 좋은 방법은 그것에 대하여 글을 쓰는 것입니다. 보내 주신 것처럼 나름대로의 방법으로 이해하고 생각을 확장하여 글로 표현해 보는 것은 아주 좋은 방법입니다. 물론 이렇게 하려면 시간이 많이 걸리기 때문에 지금 단계에서 모든 내용을 자기 나름대로 정리하는 것은 어렵지만, 몇 가지 흥미있는 부분이라도 그렇게 해 보면 모든 공부에 좋은 영향을 줄 것이라고 봅니다. 그러나 자기 생각만을 너무 많이 밀고 나가면 기존 수학 개념과 일치하지 않는, 자기 하나만을 위한 수학을 만들어낼 위험이 있습니다. 하니엘 님의 글에서 마지막 부분, 그러니까 직선과 평면의 방정식에 대한 부분은 그런 위험이 있는 것 같습니다.
도형의 방정식은 점 P(x,y,z) 가 그 도형 위에 있을 필요충분조건이 되는 방정식을 말합니다. 그래서 x, y, z 가 만족해야 할 조건을 나타내면 되기 때문에 꼭 (x,y,z)=... 의 꼴로 나타내는 것이 중요한 것은 아닙니다. 원의 방정식도 x^2 + y^2 = 1 과 같이 쓰지 않습니까?
굳이 평면의 방정식을 (x,y,z) = ... 의 꼴로 나타내려 했으면 법선벡터 대신 평면과 평행하되 서로 평행은 아닌 두 벡터 u, v 를 가지고
x = a + tu + sv
하는 식으로 할 수도 있었을 것입니다.
공부한 내용을 자기 나름대로 이해하고 정리하는 것은 중요하지만, 너무 많이 나갈 필요는 없습니다.
(너무 많이 나가면 각의 삼등분을 했다든지, 골드바흐의 추측을 증명했다고 억지를 부리는 아마추어 수학자들처럼 될 수도 있습니다.)
그것은 (수학자들이 만들어 놓은) 수학을 더 잘 공부해 나가는 하나의 방법이니까요.
정말 자기만의 세계를 만들어 나가야 할 때는 수학자(혹은 다른 분야의 학자라도)가 된 다음일 것입니다.
ax + b 의 값이 x 에 관계 없이 일정하다는 조건을 ax + b = k 로 놓는 것은 찜찜할 일이 아닙니다. 문제의 조건을 그대로 식으로 표현한 것이니까요.
다만 ax + b = k 로 놓는 데서 끝나면 안되고, 이 식이 '항등식' 임을 이용하여 a 의 값을 구하는 것이 핵심이겠지요.
"어떤 상수 k 에 대해 ax + b = k 가 항등식이다" 라는 말은
"ax + b 의 값이 x 에 관계 없이 일정하다" 는 말과 정확히 같은 뜻이 아닙니까?
그리고 ebs '수학사' 프로그램에 감수위원으로 나오는 것은 제가 맞습니다.
저와 함께 공부하는 몇 분의 선생님들이 그 프로그램의 내용에 대해 아이디어를 주고,
또한 구성된 프로그램을 검토하는 일을 하고 있습니다.
6. 증명에 대하여
선생님~ 안녕하세요^^
질문 몇가지만 할게요.
우리가 알고있는 모든 수학적 사실은 증명이 되어있나요?
그리고 지금상태에서(고등과정을 넘어서) 증명하지 못하는건 그냥 성립하는구나만 알고있으면 되는건가요?
증명되지 못한 것은 그 나름대로 의미가 있습니다. 예를 들어 '리만 가설' 같은 것은 아직 증명되지도, 반증되지도 못했지만,
'리만 가설이 참이라면 이러이러하다' 라든가 '리만 가설이 거짓이라면 이러이러하다' 는 식의 정리가 많이 있습니다. 즉 리만 가설 자체는 참인지 거짓인지 모르지만 '리만 가설이 참이라면 이러이러하다' 는 식의 명제는 증명되어 정리(theorem)이 될 수 있는 것입니다.
하지만 증명되지 못한 명제가 교과서에 나올 수는 당연히 없습니다.
교과서는 일일이 모든 단계를 증명하지 못하고 넘어가는 경우가 많이 있습니다. 예를 들어 '실수'에 대한 것도, '극한'에 대한 것도 고등학교 교과서에서는 제대로 필요한 명제를 증명하면서 가지 못합니다. 일단 교과서에서 하는 대로 따라 가되 더 깊은 이론은 수학을 전공하거나 특별한 관심을 갖는 사람들만이 알게 될 것입니다.
어떤 개념이나 원리에대해 이렇게되니까 이렇게 된다 이렇게 설명될수 있는것은 증명이 없어도 성립되는걸 알수있는데 왜 증명을 하나요?
예를들어 삼각함수의 극한 lim_n->∞ sinx/x=1에서 sinx는 x가0부근에서 y=x와 같아지니까 (접선 방정식) 1이 된다는걸 알수있는데 ...
또 치환적분에서도 ∫f(x)dx에서 x=g(t)로 놓으면 dx/dt=g'(t) dx=g'(t)dt이므로 x대신 g(t)를 dx대신 g'(t)dt를 대입하면 ∫f(x)dx=∫f(g(t))g'(t)dt이다. 로 증명없이 성립되는걸 설명할수있는데 왜 따로 증명을 하는건가요?
그리고 공식유도와 증명은 뭐가 다른가요??
어떤 개념이나 원리에 대해 이렇게 되니까 이렇게 된다고 설명하는 것이 바로 증명입니다.
삼각함수의 경우 sin x 가 0 부근에서 x 와 같아진다는 것은 어떻게 확실히 알 수 있겠습니까? 바로 (sin x)/x 의 극한이 1이기 때문인 것입니다. 이 극한을 알아야 sin x 가 x=0 에서 미분가능이고 그 미분계수가 1 이라는 사실(다시 말해 0 부근에서 x 라는 일차함수로 근사된다는 사실)을 알 수 있고, 따라서 sin x 의 그래프를 제대로 그릴 수 있는 것입니다.
삼각함수의 경우 sin x 가 0 부근에서 x 와 같아진다는 것은 어떻게 확실히 알 수 있겠습니까? 바로 (sin x)/x 의 극한이 1이기 때문인 것입니다. 이 극한을 알아야 sin x 가 x=0 에서 미분가능이고 그 미분계수가 1 이라는 사실(다시 말해 0 부근에서 x 라는 일차함수로 근사된다는 사실)을 알 수 있고, 따라서 sin x 의 그래프를 제대로 그릴 수 있는 것입니다.
적분의 경우, 정확히 말해 ∫f(x)dx 에서 f(x) 와 dx 사이는 곱하기가 아닙니다. 교과서의 그 부분을 보면 알 수 있듯이 이것은 그 자체로 f(x) 를 적분하라는 기호입니다. 곱하기가 아니기 때문에 마치 곱하기인 것처럼 생각해서 만든 공식이 성립한다는 것은 따로 증명해야 합니다. 물론, 기호가 이렇게 된 것은 라이프니츠가 f(x)dx 를 f(x) 와 'x의 미세한 증분' dx 의 곱으로 생각했기 때문이고, 지금에 와서도 엄밀하지는 않지만 그렇게 생각하면 편리하게 공식을 이해할 수 있기 때문에 계속 사용되는 것입니다. 하지만 그것은 공식을 쉽게 익히기 위한 편법일 뿐, 정확한 수학적 사실은 아니라는 것을 알아야 합니다.
공식유도와 증명은 뭐가 다르냐...
다르지 않습니다. 공식을 유도하는 것은 공식을 증명하는 것입니다.
문제를 풀때 그문제를 풀수있는 방법이 다양하고 ,원리나 개념에대해서 여러가지 증명이있고 그렇게 되는이유를 여러가지로 설명할수있는것이 있잖아요. 이런것들이 모두 수학은 개념들이 서로 연결되서 그런것인가요?
맞습니다.
맞습니다.
lim_n->∞ ∑f(a+(b-a)k/n)(b-a)/n을 인테그랄 a에서b까지 f(x)dx으로 바꿀때 정적분의 정의를 이용하기도 하지만 치환을 해서 바꿀수도 있잖아요.
a+(b-a)k/n=x로 치환하고 k에 대하여 미분하면 (b-a)/n=dx/dk 이때 k가 1씩 증가하니까 dk=1그래서 (b-a)/n=dx 이다. 이때 k가 1에서n까지 변화할때 x가a에서 b까지 변화하므로 이렇게 쓸수있다. 인테그랄 a에서b까지 f(x)dx 이렇게 치환을 통해서 바꿀수도 있는데 왜 이렇게 되는지는 알겠는데 어떻게 이방법이 가능한것인가요?
lim_n->∞ ∑f(a+(b-a)k/n)(b-a)/n을 인테그랄 a에서b까지 f(x)dx으로 정의하는 과정에서 나온것인 가요?
그 '치환'을 가지고 한 일이 아무 것도 없습니다.
어차피 (a+(b-a)k/n) 은 x 가 될 것이고 (b-a)/n 은 dx 가 될 것이었으니까요.
게다가 위에서 말했듯이 수학적으로 dx/dk 는 dx 라는 수를 dk 라는 수로 나눈다는 뜻이 아니기 때문에, dk=1 이라는지, 그래서 dx/dk = 1 이라든지 하는 말은 넌센스라고밖에 할 수 없습니다. 이것은 우연히 맞은 것도 아니고 맞도록 식을 꿰어 맞춘 것에 해당합니다.
a+(b-a)k/n=x로 치환하고 k에 대하여 미분하면 (b-a)/n=dx/dk 이때 k가 1씩 증가하니까 dk=1그래서 (b-a)/n=dx 이다. 이때 k가 1에서n까지 변화할때 x가a에서 b까지 변화하므로 이렇게 쓸수있다. 인테그랄 a에서b까지 f(x)dx 이렇게 치환을 통해서 바꿀수도 있는데 왜 이렇게 되는지는 알겠는데 어떻게 이방법이 가능한것인가요?
lim_n->∞ ∑f(a+(b-a)k/n)(b-a)/n을 인테그랄 a에서b까지 f(x)dx으로 정의하는 과정에서 나온것인 가요?
그 '치환'을 가지고 한 일이 아무 것도 없습니다.
어차피 (a+(b-a)k/n) 은 x 가 될 것이고 (b-a)/n 은 dx 가 될 것이었으니까요.
게다가 위에서 말했듯이 수학적으로 dx/dk 는 dx 라는 수를 dk 라는 수로 나눈다는 뜻이 아니기 때문에, dk=1 이라는지, 그래서 dx/dk = 1 이라든지 하는 말은 넌센스라고밖에 할 수 없습니다. 이것은 우연히 맞은 것도 아니고 맞도록 식을 꿰어 맞춘 것에 해당합니다.
dy/dx 등에서 dy, dx 등등은 미세한 변화를 뜻하나요? 그리고 치환부정적분에서 보면 adx/dk=1 dx=1/a dt 이렇게 계산하는데 어떻게 이계산을 할수있는건가요? dx/dk는 분수식처럼 계산을 할수있는게 아니잖아요..
dy/dx 등에서 dy, dx 등등은 미세한 변화를 뜻하는가?
원래는 그랬습니다. 즉, 라이프니츠 시절에는 그런 뜻으로 이런 기호를 만들었다는 것입니다.
그러나 그런 방식으로 미적분을 설명하는 것은 수학적으로 문제가 많기 때문에(수학자들이 골치 깨나 썩였다고 합니다) 오늘날과 같이 극한이라든지, 무한급수라든지 하는 것을 동원하여 새로 정의하게 되었습니다. 하지만 그 기호가 여러가지로 편리하기 때문에 오늘날도 그렇게 쓰고 있는 것입니다. 수학이 아닌 물리 등 다른 분야에서는 아직도 라이프니츠 시절의 방식으로(즉 dx 는 x의 미세한 변화량이다) 설명하는 경우가 많습니다. 수학에서처럼 엄밀성을 추구하지 않고 쉽게 이해하도록 하기 위해서입니다.
치환적분에서 adx/dk=1 이므로 dx=1/a dt 이와 같이 말할 수 있는 것은...
현대 수학의 관점에서 보면, 치환적분의 공식 자체를 그 이전에 증명했기 때문에 그 공식을 적용하고 있는 것 뿐입니다.
라이프니츠 시절의 관점에서 보면, dx 나 dt 는 아주 작지만 어떤 '양' 이기 때문에 등식의 양변에 곱하거나 나누는 등의 조작을 할 수 있는 것입니다.
라이프니츠식의 관점이 '실패' 하여 모순이 생기는 것은 어차피 매우 특이한 함수에 대해서만이므로 보통의 경우 그런 식으로 생각해도 아무 문제 없습니다.
마지막으로 제가 문제 푸는 속도가 너무 느린것같아 걱정입니다. 문제는 다풀겠는데 시간이 너무 오래걸리는것 같아요..ㅠㅠ 어떻게 해야될까요?
문제 푸는 속도가 느리다...
그것이 현재 님의 실력입니다.
그것을 인정하고 꾸준히 노력하는 것이 실력을 키우는 길입니다.
속도가 느리다, 빠르다는 것은 사실 시험을 염두에 두기 때문에 나오는 말입니다.
시험 점수에 너무 집착하지 않는 것이 또한 제대로 된 실력을 키우는 길입니다.
배움의 결과는 무엇을 더 알았고, 그럼으로써 자기가 얼마나 변화했느냐로 측정해야 합니다.
시험점수는 학생들을 한 줄로 세우기 위한 도구일 뿐입니다. 올바른 배움의 기회로서 시험을 이용해야 하는 것이지, 시험점수에 얽매여 올바른 배움의 기회를 포기하는 우를 범해서는 안 될 것입니다.
그리고 선생님 덕분에 어렵고 정복할수없는 높은 탑같이 느껴졌던 수학인데 요즘엔 너무 쉬워지고 재밌어졌어요^^물론 점수가 잘나와서 좋기도하지만 더중요한걸 얻어서 너무 기쁩니다.수학뿐만아니라 제가 지금 하고있는 모든 공부에대해서 명문대의 길이 아니라 제삶에 등불이라는 것*_*을 공부할수록 더 느끼게되더라구요 . 선생님~ 정말 감사합니다.
7. 연산은 약속인가요?
안녕하세요.^^
연산에대해 궁금증이 생겨서 메일 보냅니다.
벡터의 연산을 공부하다가 어느문제집에서 벡터의 연산은 덧셈과 뺄셈에대해 약속한것이라고 나왔고 모든연산은 약속이라고 나왔는데 연산은 약속인가요?
맞습니다.
벡터의 덧셈이라든지, 행렬의 곱셈, 함수의 합성, 집합의 연산(교집합, 합집합) 과 같이 특정한 대상에 대한 연산은 미리 '정의' 되어 있습니다. 정의를 약속이라고 부를 수 있겠지요.
그리고 벡터, 행렬, 함수, 집합과 같은 특정한 것이 아닌, '일반적인' 대상과 그에 대한 연산을 생각하는 경우가 있습니다.
그 때 나오는 용어가 군, 환, 체 같은 것들입니다. (전공 수학에 나오는 용어입니다)
이럴 때 나오는 연산은 벡터의 덧셈과 같은 특정한 연산이 아니며 정의할 수도 없습니다.
그것은 무정의용어가 되고 이번에는 그것에 대한 기본적인 가정, 즉 '공리' 를 증명 없이 받아들입니다. 공리도 일종의 약속이라고 할 수 있습니다.
그런 면에서 연산은 약속이라고 말하는 것은 맞는 말이라고 하겠습니다.
=====================================================================
선생님 안녕하세요 . ^^ 답변잘받았습니다.
연산에 대해서 질문 몇가지만 더하겠습니다.
벡터의 덧셈 ,행렬의 곱셈, 함수의합성등 은 증명없이 바로 '정의'되어있는것인가요?
그리고 일반적인 대상과의 연산은 수에대한연산을 말하는것인가요?
dy/dx 등에서 dy, dx 등등은 미세한 변화를 뜻하는가?
원래는 그랬습니다. 즉, 라이프니츠 시절에는 그런 뜻으로 이런 기호를 만들었다는 것입니다.
그러나 그런 방식으로 미적분을 설명하는 것은 수학적으로 문제가 많기 때문에(수학자들이 골치 깨나 썩였다고 합니다) 오늘날과 같이 극한이라든지, 무한급수라든지 하는 것을 동원하여 새로 정의하게 되었습니다. 하지만 그 기호가 여러가지로 편리하기 때문에 오늘날도 그렇게 쓰고 있는 것입니다. 수학이 아닌 물리 등 다른 분야에서는 아직도 라이프니츠 시절의 방식으로(즉 dx 는 x의 미세한 변화량이다) 설명하는 경우가 많습니다. 수학에서처럼 엄밀성을 추구하지 않고 쉽게 이해하도록 하기 위해서입니다.
치환적분에서 adx/dk=1 이므로 dx=1/a dt 이와 같이 말할 수 있는 것은...
현대 수학의 관점에서 보면, 치환적분의 공식 자체를 그 이전에 증명했기 때문에 그 공식을 적용하고 있는 것 뿐입니다.
라이프니츠 시절의 관점에서 보면, dx 나 dt 는 아주 작지만 어떤 '양' 이기 때문에 등식의 양변에 곱하거나 나누는 등의 조작을 할 수 있는 것입니다.
라이프니츠식의 관점이 '실패' 하여 모순이 생기는 것은 어차피 매우 특이한 함수에 대해서만이므로 보통의 경우 그런 식으로 생각해도 아무 문제 없습니다.
마지막으로 제가 문제 푸는 속도가 너무 느린것같아 걱정입니다. 문제는 다풀겠는데 시간이 너무 오래걸리는것 같아요..ㅠㅠ 어떻게 해야될까요?
문제 푸는 속도가 느리다...
그것이 현재 님의 실력입니다.
그것을 인정하고 꾸준히 노력하는 것이 실력을 키우는 길입니다.
속도가 느리다, 빠르다는 것은 사실 시험을 염두에 두기 때문에 나오는 말입니다.
시험 점수에 너무 집착하지 않는 것이 또한 제대로 된 실력을 키우는 길입니다.
배움의 결과는 무엇을 더 알았고, 그럼으로써 자기가 얼마나 변화했느냐로 측정해야 합니다.
시험점수는 학생들을 한 줄로 세우기 위한 도구일 뿐입니다. 올바른 배움의 기회로서 시험을 이용해야 하는 것이지, 시험점수에 얽매여 올바른 배움의 기회를 포기하는 우를 범해서는 안 될 것입니다.
그리고 선생님 덕분에 어렵고 정복할수없는 높은 탑같이 느껴졌던 수학인데 요즘엔 너무 쉬워지고 재밌어졌어요^^물론 점수가 잘나와서 좋기도하지만 더중요한걸 얻어서 너무 기쁩니다.수학뿐만아니라 제가 지금 하고있는 모든 공부에대해서 명문대의 길이 아니라 제삶에 등불이라는 것*_*을 공부할수록 더 느끼게되더라구요 . 선생님~ 정말 감사합니다.
7. 연산은 약속인가요?
안녕하세요.^^
연산에대해 궁금증이 생겨서 메일 보냅니다.
벡터의 연산을 공부하다가 어느문제집에서 벡터의 연산은 덧셈과 뺄셈에대해 약속한것이라고 나왔고 모든연산은 약속이라고 나왔는데 연산은 약속인가요?
맞습니다.
벡터의 덧셈이라든지, 행렬의 곱셈, 함수의 합성, 집합의 연산(교집합, 합집합) 과 같이 특정한 대상에 대한 연산은 미리 '정의' 되어 있습니다. 정의를 약속이라고 부를 수 있겠지요.
그리고 벡터, 행렬, 함수, 집합과 같은 특정한 것이 아닌, '일반적인' 대상과 그에 대한 연산을 생각하는 경우가 있습니다.
그 때 나오는 용어가 군, 환, 체 같은 것들입니다. (전공 수학에 나오는 용어입니다)
이럴 때 나오는 연산은 벡터의 덧셈과 같은 특정한 연산이 아니며 정의할 수도 없습니다.
그것은 무정의용어가 되고 이번에는 그것에 대한 기본적인 가정, 즉 '공리' 를 증명 없이 받아들입니다. 공리도 일종의 약속이라고 할 수 있습니다.
그런 면에서 연산은 약속이라고 말하는 것은 맞는 말이라고 하겠습니다.
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선생님 안녕하세요 . ^^ 답변잘받았습니다.
연산에 대해서 질문 몇가지만 더하겠습니다.
벡터의 덧셈 ,행렬의 곱셈, 함수의합성등 은 증명없이 바로 '정의'되어있는것인가요?
그리고 일반적인 대상과의 연산은 수에대한연산을 말하는것인가요?
벡터의 덧셈 ,행렬의 곱셈, 함수의합성 등은 정의하는 것입니다.
물론 그렇게 정의하는 이유는 그런 연산이 앞으로의 이론 전개에 유용하고, 다른 연산(수의 덧셈 등) 일관성이 있다는 등 이유가 있기 때문이지요.
일반적인 대상에 대한 연산이란, 여러 연산을 아우를 수 있는, 말하자면 '수의 곱셈' 과 같은 특정한 연산이 아닌 '연산' 이라는 개념이라는 말합니다. 일반적인 연산에 대해서 성립하는 것은 특정한 연산에 대해서도 성립합니다.
예를 들어 일반적으로 '군'에서 연산에 대한 어떤 사실을 증명하면, 군의 일종인 벡터, 행렬, 함수 등에 대해서는 그 사실을 자동적으로 알 수 있게 됩니다. 마치 일반적인 '삼각형'에 대해서 어떤 사실을 증명하면 정삼각형이나 이등변삼각형 등 특정한 종류의 삼각형에도 자동적으로 그 사실이 성립하는 것을 알게 되는 것과 같습니다.
8. 이렇게 풀어도 되나요?
선생님 안녕하세요 .^^
문제 풀이에 대해서 질문이있는데요..
물론 그렇게 정의하는 이유는 그런 연산이 앞으로의 이론 전개에 유용하고, 다른 연산(수의 덧셈 등) 일관성이 있다는 등 이유가 있기 때문이지요.
일반적인 대상에 대한 연산이란, 여러 연산을 아우를 수 있는, 말하자면 '수의 곱셈' 과 같은 특정한 연산이 아닌 '연산' 이라는 개념이라는 말합니다. 일반적인 연산에 대해서 성립하는 것은 특정한 연산에 대해서도 성립합니다.
예를 들어 일반적으로 '군'에서 연산에 대한 어떤 사실을 증명하면, 군의 일종인 벡터, 행렬, 함수 등에 대해서는 그 사실을 자동적으로 알 수 있게 됩니다. 마치 일반적인 '삼각형'에 대해서 어떤 사실을 증명하면 정삼각형이나 이등변삼각형 등 특정한 종류의 삼각형에도 자동적으로 그 사실이 성립하는 것을 알게 되는 것과 같습니다.
8. 이렇게 풀어도 되나요?
선생님 안녕하세요 .^^
문제 풀이에 대해서 질문이있는데요..
문제가 f(0)=64 g(0)=0 인 미분가능한 두함수 f,g 가 f'(x)=g(x) g'(x)=-f(x ) 를 만족할때 루트(f(2008) ^2 +g(2008)^2) 의 값을 구하시오. 인데요.
제가 이문제를 풀때 문제에나와있는 조건으로는 f(x), g(x)를 구할수 없어서 고민하던중 루트 f(2008) ^2 +g(2008)^2 을 구하려면 f(x)^2 +g(x)^2 이 함수를 생각해봐야될것같았고 루트 f(2008) ^2 +g(2008)^2 이 상수가되려면 f(x)^2 +g(x)^2이 상수함수가 될거같다고 생각이 들었고 그함수가 상수함수이면 미분하면 0 이된다 라는것을 이용해서 풀었는데 이렇게 접근하는것도 괜찮은가요??
그런 생각을 갖고 접근하는 것은 좋으나 그것이 풀이가 될 수는 없습니다.
말하자면 문제 모양상 f(x)^2 + g(x)^2 가 상수함수가 될지도 모른다는 '감' 을 잡고
그렇다면 미분하면 0 이 될 것이 아닌가 하는 예상을 하고
그것을 미분해 보니, 2f(x)f'(x) + 2g(x)g'(x) 인데 주어진 조건에 의해 정말 0 이 되더라...
따라서 f(x)^2 + g(x)^2 는 상수함수이다.
제가 이문제를 풀때 문제에나와있는 조건으로는 f(x), g(x)를 구할수 없어서 고민하던중 루트 f(2008) ^2 +g(2008)^2 을 구하려면 f(x)^2 +g(x)^2 이 함수를 생각해봐야될것같았고 루트 f(2008) ^2 +g(2008)^2 이 상수가되려면 f(x)^2 +g(x)^2이 상수함수가 될거같다고 생각이 들었고 그함수가 상수함수이면 미분하면 0 이된다 라는것을 이용해서 풀었는데 이렇게 접근하는것도 괜찮은가요??
그런 생각을 갖고 접근하는 것은 좋으나 그것이 풀이가 될 수는 없습니다.
말하자면 문제 모양상 f(x)^2 + g(x)^2 가 상수함수가 될지도 모른다는 '감' 을 잡고
그렇다면 미분하면 0 이 될 것이 아닌가 하는 예상을 하고
그것을 미분해 보니, 2f(x)f'(x) + 2g(x)g'(x) 인데 주어진 조건에 의해 정말 0 이 되더라...
따라서 f(x)^2 + g(x)^2 는 상수함수이다.
이렇게 되는 것이지요. 그리고 풀이에는 그 '감' 이나 '예상' 부분은 안 쓰는 거지요.
그러면 난데없이 f(x)^2 + g(x)^2 를 미분하는 것부터 나오는 것입니다.
그러면 난데없이 f(x)^2 + g(x)^2 를 미분하는 것부터 나오는 것입니다.
그런 '감' 이나 '예상' 부분까지 밝혀 놓으면 읽는 사람들에게는 더 도움이 되겠지만 수학적인 논의에서는 논리적으로 불필요한 것들(느낌이나, 그 동안 겪었던 시행착오 과정 등)을 써 놓는 것은 군더더기라고 간주하는 전통이 있기 때문에 수학 책에서는 좀처럼 그런 과정을 알아내기 어렵습니다. 그런 것은 아무래도 스스로 터득하거나 선생님이나 선배에게 직접 배워야겠지요.
그런 사고 과정을 일일이 밝혀 놓으면 수학이라기 보다는 수필이 되는 것인데, 오일러 같은 수학자는 그런 글도 많이 썼다고 합니다.
9. 원뿔의 단면으로 원뿔곡선을 설명하는 이유는?
기하학에대해서 예전부터 찜찜했던부분인데요..
이차곡선을 원뿔에서도 발견이 되어서 원뿔곡선이라고도 하잖아요.
원뿔을 잘랐더니 원 , 포물선 , 타원, 쌍곡선 이 관찰이되었다.. 뚱딴지 같은 질문이지만 .. 이사실이 왜 중요한 것인가요?
기하학에대해서 공부를 하면 어렵기도하고 신기하기도 했는데 배우고 나서는 그래서 어쩌란말인가 라는 생각이 들었어요. 그런데 그냥 그런것인가보다 하고 넘어갔거든요. 기하학에 대해서 공부할때 어떻게 받아들여야할까요?
역사적인 중요성 때문이라고 할 수 있습니다.
고대 그리스 수학자들은 지금처럼 좌표를 쓰지 않았기 때문에 이차곡선을 방정식으로 표현한다거나 하지 못하고 모두 원뿔의 단면으로서 생각해서 추측하고 증명하는 방식으로 연구했습니다. 수학은 그들의 전통을 이어받은 것이기 때문에 교과서에서도 언급되고 있는 것입니다. 교과 과정은 좌표를 중심으로 되어 있기 때문에 교과과정에서는 벗어난 읽을 거리 정도로 말입니다. 또한 원뿔곡선을 원뿔의 단면으로 볼 줄 알면 현상을 더 잘 이해할 수 있는 경우도 있습니다. 육각형 연필을 깎으면 생기는 곡선이 쌍곡선이라든지 하는 그런 예들 말입니다.
그리고 10-나 에서 배운 부등식영역에서 최대최소 구하는것이 교과서에서 따로 나오잖아요.. 그런데 이것은 부등식 영역만 알면 구할수 있는것인데 왜 따로 해놓은 것인가요?
교과서에서는 보통 어떤 개념이나 기능(기술)을 익히는 부분과 그것을 응용하는 부분이 구별되게 되어 있습니다.
부등식의 영역의 경우 부등식의 영역을 표시하는 기능을 익히는 부분과 그것을 응용하여 주어진 조건하에서 어떤 식의 최댓값이나 최솟값을 구하는 부분으로 구별한 것입니다. (교과서마다 다를 수 있습니다.)
최대최소 문제는 부등식의 영역을 응용하여 해결할 수 있는 대표적인 문제로 산업이나 과학에서 큰 역할을 했던 역사적 중요성도 있습니다. (선형계획법, 혹은 리니어프로그래밍이라는 분야가 따로 있는데 부등식의 영역에 나오는 최대최소 바로 그 내용을 기초로 합니다.) 즉, 사회적으로 중요성을 갖는 개념이므로 단순한 응용문제보다는 좀 더 강조해 놓은 것이라고 할 수 있습니다.
10. 시험점수가 잘 안 나와요.
선생님 안녕하세요^^
제가 오래전부터 고민했던것인데요......누구한테 이야기할사람이 없어서 혼자 끙끙앓다가 선생님께 메일을 보냅니다..말하면 공부못하는데에 대한 변명으로 들릴지도 모르겠지만..
시험만보면 문제가 머리에 안들어와요..평소에 문제를 풀어보면 문제만 보고도 어떻게 해야되겠다는게 머리에 그려지는데 시험만보면 어떻게해야되는지 생각도 안 나고..
다시 집에와서 풀어보면 정말 아무것도 아닌데 시험만보면 그래요..
이것도 공부를 열심히하지않아서 정리를 소홀히해서 그런것인가 하고 공부도 열심히해보았지만 달라지는것은 없었어요.... 이번에 수능을 보았는데.. 6등급이나왔어요..
남들은 펑펑놀면서도 나오는 점수라는데......
저한테는 방법이 없는것일까요.. 아니면 원래 공부하면 않되는돌머리인지.. 여지까지 공부를 잘못했는지....공부를 제대로 해보겠다는 생각이 저한텐 사치였는지...정말 별의별생각이 다듭니다.
선생님 꼭도와주세요..
그리고 항상 감사하게생각하고있습니다. 한번도 본적없는 학생에게 매번 질문할때마다 성실히 답변해주셔서.. 정말 감사합니다..^^
답변이 늦었네요. 죄송합니다.
그런데 이번 질문은 수학이 아니라 심리적인 문제 같습니다.
따라서 명쾌한 해답은 없습니다. 그러나 수학 문제 푸는 것과 별로 다른 것도 아닙니다.
모든 문제의 해결은 본질적으로 같은 것이지요.
문제가 뭔지 파악하고 그것을 해결할 수 있는 방법을 스스로 만들어 내야 합니다.
그런 사고 과정을 일일이 밝혀 놓으면 수학이라기 보다는 수필이 되는 것인데, 오일러 같은 수학자는 그런 글도 많이 썼다고 합니다.
9. 원뿔의 단면으로 원뿔곡선을 설명하는 이유는?
기하학에대해서 예전부터 찜찜했던부분인데요..
이차곡선을 원뿔에서도 발견이 되어서 원뿔곡선이라고도 하잖아요.
원뿔을 잘랐더니 원 , 포물선 , 타원, 쌍곡선 이 관찰이되었다.. 뚱딴지 같은 질문이지만 .. 이사실이 왜 중요한 것인가요?
기하학에대해서 공부를 하면 어렵기도하고 신기하기도 했는데 배우고 나서는 그래서 어쩌란말인가 라는 생각이 들었어요. 그런데 그냥 그런것인가보다 하고 넘어갔거든요. 기하학에 대해서 공부할때 어떻게 받아들여야할까요?
역사적인 중요성 때문이라고 할 수 있습니다.
고대 그리스 수학자들은 지금처럼 좌표를 쓰지 않았기 때문에 이차곡선을 방정식으로 표현한다거나 하지 못하고 모두 원뿔의 단면으로서 생각해서 추측하고 증명하는 방식으로 연구했습니다. 수학은 그들의 전통을 이어받은 것이기 때문에 교과서에서도 언급되고 있는 것입니다. 교과 과정은 좌표를 중심으로 되어 있기 때문에 교과과정에서는 벗어난 읽을 거리 정도로 말입니다. 또한 원뿔곡선을 원뿔의 단면으로 볼 줄 알면 현상을 더 잘 이해할 수 있는 경우도 있습니다. 육각형 연필을 깎으면 생기는 곡선이 쌍곡선이라든지 하는 그런 예들 말입니다.
그리고 10-나 에서 배운 부등식영역에서 최대최소 구하는것이 교과서에서 따로 나오잖아요.. 그런데 이것은 부등식 영역만 알면 구할수 있는것인데 왜 따로 해놓은 것인가요?
교과서에서는 보통 어떤 개념이나 기능(기술)을 익히는 부분과 그것을 응용하는 부분이 구별되게 되어 있습니다.
부등식의 영역의 경우 부등식의 영역을 표시하는 기능을 익히는 부분과 그것을 응용하여 주어진 조건하에서 어떤 식의 최댓값이나 최솟값을 구하는 부분으로 구별한 것입니다. (교과서마다 다를 수 있습니다.)
최대최소 문제는 부등식의 영역을 응용하여 해결할 수 있는 대표적인 문제로 산업이나 과학에서 큰 역할을 했던 역사적 중요성도 있습니다. (선형계획법, 혹은 리니어프로그래밍이라는 분야가 따로 있는데 부등식의 영역에 나오는 최대최소 바로 그 내용을 기초로 합니다.) 즉, 사회적으로 중요성을 갖는 개념이므로 단순한 응용문제보다는 좀 더 강조해 놓은 것이라고 할 수 있습니다.
10. 시험점수가 잘 안 나와요.
선생님 안녕하세요^^
제가 오래전부터 고민했던것인데요......누구한테 이야기할사람이 없어서 혼자 끙끙앓다가 선생님께 메일을 보냅니다..말하면 공부못하는데에 대한 변명으로 들릴지도 모르겠지만..
시험만보면 문제가 머리에 안들어와요..평소에 문제를 풀어보면 문제만 보고도 어떻게 해야되겠다는게 머리에 그려지는데 시험만보면 어떻게해야되는지 생각도 안 나고..
다시 집에와서 풀어보면 정말 아무것도 아닌데 시험만보면 그래요..
이것도 공부를 열심히하지않아서 정리를 소홀히해서 그런것인가 하고 공부도 열심히해보았지만 달라지는것은 없었어요.... 이번에 수능을 보았는데.. 6등급이나왔어요..
남들은 펑펑놀면서도 나오는 점수라는데......
저한테는 방법이 없는것일까요.. 아니면 원래 공부하면 않되는돌머리인지.. 여지까지 공부를 잘못했는지....공부를 제대로 해보겠다는 생각이 저한텐 사치였는지...정말 별의별생각이 다듭니다.
선생님 꼭도와주세요..
그리고 항상 감사하게생각하고있습니다. 한번도 본적없는 학생에게 매번 질문할때마다 성실히 답변해주셔서.. 정말 감사합니다..^^
답변이 늦었네요. 죄송합니다.
그런데 이번 질문은 수학이 아니라 심리적인 문제 같습니다.
따라서 명쾌한 해답은 없습니다. 그러나 수학 문제 푸는 것과 별로 다른 것도 아닙니다.
모든 문제의 해결은 본질적으로 같은 것이지요.
문제가 뭔지 파악하고 그것을 해결할 수 있는 방법을 스스로 만들어 내야 합니다.
누군가에게 의존하여 문제를 해결하려고 하는 것은 수학에서뿐만 아니라 이런 문제에서도 좋은 태도가 아닙니다.
이왕 질문을 해 주셨으니 제가 좀 넘겨짚어서 얘기를 해 보겠습니다.
참고만 하시고 문제점을 파악하고 해결 방법을 찾는 것은 어디까지나 스스로 하는 일이라고 생각하시기 바랍니다.
이것은 평소에 문제 풀 때의 마음 상태와 시험볼 때의 마음 상태가 달라서 생기는 문제라고 생각합니다.
그냥 공부할 때는 여유를 가지고 될 때까지 차근차근 여러 방법을 시도해 볼 수 있습니다.
그러나 시험을 볼 때는 시간 제한이 있습니다. 따라서 잘 안 되면 그 문제를 접어두고 다음 문제로 넘어가는 등의 '요령'이 필요합니다.
그런 요령에 익숙하지 않으면 불안감 때문에 시험문제에 집중이 잘 안 되겠지요.
말하자면, 앞 문제 풀다가 잘 안 풀리면 그 뒤 문제가 더 쉬울수도 있는데 하는 생각이 들고,
그래서 뒤 문제를 먼저 풀다가 보면 차라리 아까 그 문제 계속 풀걸 하는 생각이 들고,
이런 식으로 우왕좌왕하는 동안 시간이 지나가는 것이지요.
이런 경우에는 불안감을 떨쳐 버리고 뒤에 있는 문제를 일부 못 풀어도 좋다는 식으로 여유를 가지고 시험을 치르는 것이 어떨까요?
1번부터 차근차근 풀어 나가다가 한참(한 2-3분?) 풀어도 도저히 안 되는 문제만 넘어가는 식으로 하는 것이 더 나을 것 같습니다.
이왕 질문을 해 주셨으니 제가 좀 넘겨짚어서 얘기를 해 보겠습니다.
참고만 하시고 문제점을 파악하고 해결 방법을 찾는 것은 어디까지나 스스로 하는 일이라고 생각하시기 바랍니다.
이것은 평소에 문제 풀 때의 마음 상태와 시험볼 때의 마음 상태가 달라서 생기는 문제라고 생각합니다.
그냥 공부할 때는 여유를 가지고 될 때까지 차근차근 여러 방법을 시도해 볼 수 있습니다.
그러나 시험을 볼 때는 시간 제한이 있습니다. 따라서 잘 안 되면 그 문제를 접어두고 다음 문제로 넘어가는 등의 '요령'이 필요합니다.
그런 요령에 익숙하지 않으면 불안감 때문에 시험문제에 집중이 잘 안 되겠지요.
말하자면, 앞 문제 풀다가 잘 안 풀리면 그 뒤 문제가 더 쉬울수도 있는데 하는 생각이 들고,
그래서 뒤 문제를 먼저 풀다가 보면 차라리 아까 그 문제 계속 풀걸 하는 생각이 들고,
이런 식으로 우왕좌왕하는 동안 시간이 지나가는 것이지요.
이런 경우에는 불안감을 떨쳐 버리고 뒤에 있는 문제를 일부 못 풀어도 좋다는 식으로 여유를 가지고 시험을 치르는 것이 어떨까요?
1번부터 차근차근 풀어 나가다가 한참(한 2-3분?) 풀어도 도저히 안 되는 문제만 넘어가는 식으로 하는 것이 더 나을 것 같습니다.
그리고 시험에 임하는 태도에 대해 한 마디 더 하자면, 다음과 같은 말씀을 드리고 싶습니다.
시험 성적이 수학 실력대로 나오면 좋겠지만 실상은 그렇지 못하지요.
'수학실력 + 시험문제 푸는 요령' 이 맞는 말입니다.
수학실력 올리기는 어렵고 시험문제 푸는 요령을 반복 숙달하기는 쉽지요.
하지만 전에도 말씀드렸듯이 수능 성적을 올리기 위해서 시험문제 푸는 요령만 반복 숙달하는 것은 잘못이고,
점수 좀 덜 받더라도 제대로 수학을 공부하는 것이 옳은 일입니다.
옳은 일을 하다가 경쟁에서 밀리고, 손해를 보는 것은 이 세상이 돌아가는 이치입니다.
그렇다고 옳은 길을 포기하는 것은 더 잘못된 세상을 만들고 자기가 받을 고통까지 또 다른 사람에게 전가하는 일입니다.
시험 성적이 수학 실력대로 나오면 좋겠지만 실상은 그렇지 못하지요.
'수학실력 + 시험문제 푸는 요령' 이 맞는 말입니다.
수학실력 올리기는 어렵고 시험문제 푸는 요령을 반복 숙달하기는 쉽지요.
하지만 전에도 말씀드렸듯이 수능 성적을 올리기 위해서 시험문제 푸는 요령만 반복 숙달하는 것은 잘못이고,
점수 좀 덜 받더라도 제대로 수학을 공부하는 것이 옳은 일입니다.
옳은 일을 하다가 경쟁에서 밀리고, 손해를 보는 것은 이 세상이 돌아가는 이치입니다.
그렇다고 옳은 길을 포기하는 것은 더 잘못된 세상을 만들고 자기가 받을 고통까지 또 다른 사람에게 전가하는 일입니다.
수능에서 6등급이 나왔다면,
그것이 자기 실력입니다. 수학 실력과 시험 문제 푸는 요령을 합한 실력...
점수가 잘못 나온 것이 아니라는 것입니다. 원래 수능이 측정하는 것은 수학 실력이 아니니까.
아마 재수를 하거나 해서 시험 문제 푸는 요령을 더 익히게 되면
점수가 더 잘 나오겠지요.
그러나 점수를 올리기 위한 잘못된 방법(문제풀이 요령 반복숙달)만 사용하지만 말기 바랍니다(그 동안에 보내 주신 글을 보아 그럴 리는 없겠지만).
어쩌면 시험 점수에 집착하지 않는 것이,
심리적으로 여유를 갖고 그래서 더 점수도 잘 나오는 길일 수도 있을 것입니다.
그것이 자기 실력입니다. 수학 실력과 시험 문제 푸는 요령을 합한 실력...
점수가 잘못 나온 것이 아니라는 것입니다. 원래 수능이 측정하는 것은 수학 실력이 아니니까.
아마 재수를 하거나 해서 시험 문제 푸는 요령을 더 익히게 되면
점수가 더 잘 나오겠지요.
그러나 점수를 올리기 위한 잘못된 방법(문제풀이 요령 반복숙달)만 사용하지만 말기 바랍니다(그 동안에 보내 주신 글을 보아 그럴 리는 없겠지만).
어쩌면 시험 점수에 집착하지 않는 것이,
심리적으로 여유를 갖고 그래서 더 점수도 잘 나오는 길일 수도 있을 것입니다.
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